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stevfire
MensajePublicado: Vie May 18, 2007 5:46 pm Título del mensaje: axiomas Responder citando



Registrado: 07 Mar 2007
Mensajes: 1
Ubicación: canalete de upala

Números reales. (Estructuras algebraicas)
Axiomas de Campo para los números reales.
Axioma 1. Las leyes de cerradura
Para cualquier a, b є R, a + b є R y a • b є R

Axioma 2. Las leyes conmutativas
Para cualquier a, b є R, a + b = b + a y a • b = b • a

Axioma 3. Las leyes asociativas
Para cualquier a, b, c є R,
(a + b) + c = a + (b + c) y (ab) c = a (bc)

Axioma 4. Las leyes distributivas
Para cualesquier a, b, c є R
a(b + c) = ab + ac y (b + c)a =ba + ca

Axioma 5. Los elementos de identidad.
Existe exactamente un número real llamado “cero” y denotado como 0, tal que para cualquier a є R
a + 0 = a y 0 + a = a
Existe exactamente un número real, denominado “uno” y designado con 1, tal que para cualquier a є R
a • 1 = a y 1 • a = a
El número 0 se llama el elemento identidad para la adición y el número 1 se denomina el elemento de identidad para la multiplicación.

Axioma 6. Los elementos inversos.
Para cada a є R, existe exactamente un número real* denotado con -a, tal que
a + (- a) = 0 y (-a) + a = 0
Para cada número no nulo a є R, existe exactamente un número real, designado con 1/a, tal que
a • = 1 y • a = 1
El número –a se llama el inverso aditivo de a, el negativo de a, o menos a. El número 1/a se denomina el inverso multiplicativo de a o el recíproco de a.
TEOREMAS QUE SE BASAN EN LOS AXIOMAS DE CAMPO.
TEOREMA 1.1
Si a є R, entonces -(- a) = a
Prueba
-a + [- (- a)] = 0 Axioma 6
y además (- a) + a = 0 Axioma 6
TEOREMA 1.2
Si a є R, entonces a • 0 = 0
Axioma 5
= a • 0 + {a • 0 + [- (a • 0)]} Axioma 6
= (a • 0 + a • 0) + [- (a • 0)] Axioma 3
= a(0 + 0) + [- (a • 0)] Axioma 4
= a • 0 + [- (a • 0)] Axioma 5
= 0 Axioma 6
TEOREMA 1.3
Si a, b є R y ab = 0, entonces a = 0 o b = 0
Prueba
Si a = 0, entonces ciertamente el teorema se verifica. Por tanto supongamos que a ≠ 0. Entonces 1/a є R y Teorema 1 2
Además observamos que
b Axioma 3
= 1 • b Axioma 6
= b Axioma 5

TEOREMA 1.4
Si a, b є R, entonces (- a)b = -(ab).
Prueba
ab + (- a)b = ba + b(-a) Axioma 2
= b[a + (- a)] Axioma 4
= b • 0 Axioma 6
= 0 Teorema 1.2
Por tanto (- a)b es el inverso aditivo de aditivo de ab. Como –(ab) también es el inverso de aditivo de ab, tenemos por la unicidad,
(¬-a)b = -(ab)
* Corolario a un teorema es un enunciado cuya verdad se infiere fácilmente de la verdad del teorema.
(-a)b = a(-b) = -(ab) y (-1)b = -b


TEOREMA 1.5
Si a, b є R, entonces (-a)(-b)= ab
(- 2)(- 3) = 2 • 3
Definición 1.8: Si a y b son números reales, entonces la operación de sustracción se define mediante la ecuación
a - b = a + (- b)
TEOREMA 1.6
Si a, b, c є R, entonces a(b - c)= ab - ac
Prueba
a(b - c) = a [b + (- c)] Definición 1.8
= ab + a (- c) Axioma 4
= ab + [- (ac)] Colorario del teorema 1.4
= ab – ac Definición 1.8
TEOREMA 1.7
Si a, b, c є R y si a + c = b + c, entonces a = b

TEOREMA 1.8
Si a, b, c є R, c 0, y si ac = bc, entonces a = b.
Definición 1.9. La operación de división se define mediante la ecuación
si b 0
Cualquier número a no nulo posee las siguientes propiedades:


TEOREMA 1.9
Si a, b, c, d є R, donde b y d son números no nulos, entonces

Prueba
Definición 1.8
Axioma 5 y 6
Axioma 2 y 3
Axioma 6
Axioma 5
Definición 1.8
Se puede aplicar este teorema repetidamente para mostrar que el producto de tres o más fracciones es igual al producto de los numeradores dividido entre el producto de los denominadores.
Corolario
si c ≠ 0

Regla
El numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir entre, o multiplicador por, el mismo número no nulo sin que cambie el valor de la fracción.

TEOREMA 1.10
Para cualquier a, b, c є R, donde c ≠ 0,


TEOREMA 1.11
Para cualquier a, b, c, d є R, donde b, d ≠ 0,

Prueba
Corolario al teorema 1.9
Teorema 1.10
Por así convenirnos, algunas veces expresamos al cociente de dos fracciones como a/b dividido entre c/d, mediante la notación.
O







TEOREMA 1.12
Para cualquier a, b, c, d є R, donde b, c, d 0,

Prueba

Corolario al teorema 1.9
Teorema 1.9


Regla
Para dividir una fracción entre otra fracción, multiplique al dividiendo por el divisor invertido.

Ejemplo:
Examine el conjunto S = {números naturales impares} para determinar la cerradura bajo las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división.
Solución
Seleccionando los números naturales impares 7 y 13, tenemos
7 + 13 = 20 7 – 13 = -6 7 13 =
Ninguno de estos resultados es un miembro del conjunto S. En consecuencia el conjunto dado no es cerrado bajo estas operaciones. Sin embargo 7 13 = 91, que es un número natural impar. En general, si m y n son números naturales entonces
(2m + 1)(2n + 1) = 2(mn + m +n ) + 1
Es número natural impar. Esto significa que el conjunto S es cerrado bajo operación de multiplicación.



Axiomas de orden para los números reales.
Introdujimos anteriormente un conjunto de elementos, los números reales R, que tienen las propiedades formuladas en seis axiomas. Ahora atribuimos propiedades adicionales al conjunto de los números reales al suponer una relación de orden indefinida que satisface los axiomas de orden que se mencionan a continuación.
Los axiomas de orden para los números reales son los siguientes.
Axioma 7. Axioma de tricotomía.
Si a, b є R, entonces se cumple una y solo una de las relaciones.
a < b a = b a > b

Axioma 8. Axioma de transitividad.
Si a, b y c є R de tal manera que a > b y b > c, entonces a > c.

Axioma 9. Axioma de la adición.
Si a, b y c є R tal manera que a > b, entonces a + c > b + c.

Axioma 10. Axioma de la multiplicación.
Si a, b y c є R de tal manera que a > b y c > 0, entonces a c > bc.
En este punto también necesitamos de algunas definiciones adicionales.
Definición 9.1 Un campo que satisface los axiomas de orden se llama campo ordenado.
Definición 9.2 Un numero real a es positivo, si a > 0 y es negativo si a < 0.
Definición 9.3 Un enunciado que indique que una cantidad es mayor o menor que otra cantidad se denomina desigualdad.

Si hacemos b = 0 en el axioma 7, se infiere que a < 0, a = 0 o a > 0. A partir de este hecho y de la definición 9.2 concluimos que cero no es positivo ni negativo.
Algunas veces resulta conveniente combinar una desigualdad con una igualdad. Así
a ≤ b significa que “a es menor o igual que b”.
a ≥ b significa que “a es mayor o igual que b”.
Por ejemplo, x ≤ 4 establece que “x es menor o igual que 4”.
A menudo dos desigualdades se expresan en una forma extendida equivalente. Así a < b y b < c se pueden escribir como a < b < c. Se lee “a es menor que b y b es menor que c”, o bien “b es mayor que a y menor que c”. Sin embargo nunca escribimos a < b y b > c como a <b > c, o bien a > b y b < c como a > b < c.
Hay una gran cantidad de teoremas útiles que involucran desigualdades. Probaremos varios teoremas y enunciaremos otros para los cuales sus pruebas se dejan como ejercicios. En donde no se de la razón de algún paso en la prueba de un teorema, usted deberá dar la justificación.

TEOREMAS QUE SE BASAN EN LOS AXIOMAS DE ORDEN.
TEOREMA 9.1
Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0.
Prueba
a > 0 Dado
a + b > 0 + b = b Axioma 9
b > 0
a + b > b y b > 0 Dado

a + b > 0 Axioma 8

TEOREMA 9.2
Si a > 0 y b > 0, entonces ab > 0.
Los teoremas 9.1 y 9.2 muestran que la suma y el producto de dos números positivos son positivos. Entonces procedemos a probar que el producto y el cociente de dos números de signos iguales son positivos y que el producto y el cociente de dos números de signos diferentes son negativos respectivamente.
Teorema 9.3
Si a y b Є R, entonces a > b si y sólo si –a < -b.
Prueba El “si y sólo si” en este teorema indica que las siguientes dos partes deben probarse:
1. Si a > b entonces –a < -b.
2. Si –a < -b, entonces a > b.
Probemos primero que si a > b, entonces-a < -b.
a > b Dado
a + [-a + (-b) ] > b + [-a + (-b)] Axioma 9
-b > -a
- a < -b
Necesitamos probar la segunda parte del teorema. Para hacerlo observamos que los pasos de la primera parte de la prueba son reversibles. Por consiguiente la prueba consistiría en comenzar con –a < -b y reescribir las desigualdades de regreso hasta a > b.
Si hacemos b=0 en el teorema 9.3 tenemos el siguiente corolario.
Corolario Si a > 0, entonces -a < 0, y si –a < 0, entonces a > 0.
Teorema 9.4
Si a, b y c Є R, donde a > b y c < 0, entonces se infiere que ac < bc.
Prueba Como c < 0, concluimos del corolario anterior que –c > 0. Entonces tenemos
a > b Dado
- ac > -bc Axioma 10
ac > bc Teorema 9.3
El axioma 10 nos dice que cuando ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un número positivo, el sentido de la desigualdad no se altera. Y el Teorema 9.4 nos dice que el sentido se cambia si el multiplicador es un número negativo.
Teorema 9.5
Si a, b, c y d Є R, donde a > b y c > d, entonces a + c > b + d.
Prueba
a > b y c > d Dado
a + c > b + c y b + c > b + d Axioma 9
a + c > b + d Axioma 8
Teorema 9.6
Si a > 0, entonces 1/a > 0.
Teorema 9.7
Si a > 0, b > 0 y a > b, entonces 1/a < 1/b
Prueba
a > b Dado
a > b Axioma 10

> y <








Valor Absoluto

Si a es un numero real, el símbolo |a| se utiliza para denotar la distancia entre a y cero, y recibe el nombre de valor absoluto de a. Como |a| es la distancia entre dos puntos, es 0 o positiva. En la figura 1.3 se ve que |5| = 5 y |- 5| = 5 ya que tanto el 5 como el -5 están a una distancia de 5 unidades del 0.

Esta notación de valor absoluto se puede emplear para determinar la distancia entre dos números reales cualesquiera. En la figura 1.2, por ejemplo, la distancia entre el 2 y el 6 es 4, y se puede escribir como |6 - 2| o como |2 - 6|. Por otra parte, la distancia de -2 a 3 es 5 y se escribe |(- 2) - 3|. De manera más general, supóngase que A y B son puntos sobre la recta numérica real cuyas coordenadas son a y b, respectivamente. Entonces, si d(A, B) es la distancia entre A y B, se tiene

d(A, B) = |a - b|


Véase la figura 1.4. Obsérvese que d(A, B) = |a - b| = |b - a|= d(B, A), lo cual es cierto sin importar cuales sean los signos de a y b.

El valor absoluto del número real a es:

a si a >= 0 o -a si a < 0.

De esta manera, |3| = 3, |- 14.7| = 14.7, y |42 - 23| = |19| = 19

La propiedad básica de los valores absolutos es que:

|a|>= 0 para todo numero real a


Los enunciados siguientes dan algunas de las propiedades de los valores absolutos de los números reales.
Para todos los números reales a y b,

1- |a| = |- a|

2- |ab| = |a| . |b|

3- |a + b| < = |a| + |b|

4- |a + b| > = |a| - |b|
5- -|a| < = a < = |a|







Figura 1.3




Figura 1.4
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